Función de transferencia

Una vez que se han definido los diferentes tipos de sistemas, es necesario conocer la dinámica de los mismos a partir de ecuaciones que relacionen el comportamiento de una variable respecto a otra. Para lograr lo anterior se requiere de gran conocimiento de los procesos y de los elementos que los conforman, y de cada una de las disciplinas de la ingeniería involucradas. Es por ello que la ingeniería de control se considera un campo interdisciplinario.

Una planta o cada una de las partes que forman un sistema de control, puede ser representada por un conjunto de ecuaciones integro-diferenciales de n-ésimo orden con coeficientes lineales invariantes en el tiempo que relacionan la variable de entrada con la variable de salida de la forma:

Dónde: a1y b1 son constantes, u(t) es la entrada y y(t) es la salida.

Usando la transformada de Laplace para convertir la ecuación integro diferencial (1.1) en una ecuación algebraica considerando que las condiciones iníciales son iguales a cero llegamos a la siguiente expresión:

Relacionando la salida Y(s) con la entrada X(s) tenemos:

Esta última expresión es denominada la función de transferencia de sistema.

La función de transferencia de un sistema lineal con coeficientes constantes invariantes en el tiempo está definida como: "La relación de la transformada de Laplace de la salida con la transformada de Laplace de la entrada, suponiendo condiciones iníciales cero". El hecho de trabajar con funciones de transferencia, simplifica en gran medida el manejo matemático de los sistemas dado que las ecuaciones diferenciales se transforman en ecuaciones algebraicas lineales, y las operaciones en el dominio de la frecuencia compleja s son multiplicaciones simples. Con ello la salida del bloque de la figura 1.6 es Y(s) = H(s)X(s).

Una metodología a seguir para la determinación de la función de transferencia de un sistema es la siguiente:

1. Identificar las ecuaciones de equilibrio o leyes físicas involucradas en el sistema.
2. Siguiendo las ecuaciones de equilibrio plantear las ecuaciones integro diferenciales correspondientes a cada variable de interés.
3. Obtener la transformada de Laplace de cada ecuación considerando condiciones iníciales cero.
4. Relacionar la variable de salida con las variables de entrada.

Dada la naturaleza multidisciplinaria de un sistema de control este puede estar conformada por subsistemas interconectados, donde cada uno de ellos contiene elementos cuyo comportamiento es estudiado por diferentes ramas de la ingeniería.

Es por esta razón que a continuación se estudiarán los elementos así como las leyes de equilibrio de los sistemas más comunes como son:

- Sistemas mecánicos.

- Sistemas eléctricos.

- Sistemas de nivel de líquidos.

- Sistemas térmicos.

SISTEMAS MECANICOS 

Los movimientos de los sistemas mecánicos se pueden describir como de traslación o de rotación o de una combinación de ambos. Las ecuaciones que gobiernan los sistemas mecánicos están formuladas por la ley de movimiento de Newton.

• De translación

Son los movimientos que se caracterizan por el desplazamiento de un cuerpo a lo largo de una línea recta. La ley de Newton sobre cuerpos rígidos dice que la suma algebraica de fuerzas es igual a la masa del cuerpo por el vector de aceleración:

En la relación causa-efecto del desplazamiento, los cuerpos sometidos a un conjunto de fuerzas, pueden ser modelados a través de tres elementos base: masa, resorte o muelle y rozamiento o fricción. La masa es la propiedad de un elemento de almacenar energía cinética del movimiento de traslación:

• De rotación

Los movimientos de rotación se definen como extensión de la ley de Newton: La suma algebraica de momentos o pares alrededor de un eje fijo es igual al producto de la inercia por la aceleración angular alrededor de un eje. Los elementos bases constitutivos son: el momento de inercia, el resorte tensional y la fricción viscosa.

Inercia, J, se considera a la propiedad de un elemento de almacenar energía cinética del movimiento de rotación:

Donde r es el radio del cilindro de masa M y a,  w y q son la aceleración, velocidad y desplazamiento angular respectivamente del cilindro.

Resorte tensional, k, es el elemento que almacena energía potencial por desplazamiento de unidad angular:

Referencias

Ogata, K. (2002). Ingeniería de control moderna (3.a ed.). Pearson.

Carrillo, A. J. (2011). Sistemas Automáticos de Control: Fundamentos Básicos de Análisis y Modelado (2.a ed.). UNERMB.

Kuo, B. C. (2001). Sistemas de control automático (7.a ed.). Prentice Hall.